1202年,義大利數學家斐波那契出版了他的「算盤全書」。他在書中提出了一個關於兔子繁殖的問題:
如果一對兔子每月能生一對小兔(一雄一雌),而每對小兔在牠出生後的第三個月裡,又能開始生一對小兔,假定在不發生死亡的情況下,由一對出生的小兔開始,50個月後會有多少對兔子?
在第一個月時,只有一對小兔子,過了一個月,那對兔子成熟了,在第三個月時便生下一對小兔子,這時有兩對兔子。再過多一個月,成熟的兔子再生一對小兔子,而另一對小兔子長大,有三對小兔子。如此推算下去,我們便發現一個規律:
時間(月)
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初生兔子(對)
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成熟兔子(對)
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兔子總數(對)
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1
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1
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0
|
1
|
2
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0
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1
|
1
|
3
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1
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1
|
2
|
4
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1
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2
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3
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5
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2
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3
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5
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6
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3
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5
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8
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7
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5
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8
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13
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8
|
8
|
13
|
21
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9
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13
|
21
|
34
|
10
|
21
|
34
|
55
|
由此可知,從第一個月開始以後每個月的兔子總數是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…
若設 F0
=1, F1
=1, F2
=2, F3
=3, F4
=5, F5
=8, F6
=13...
則:當n>1時,Fn+2
= Fn+1
+ Fn
,而 F0
=F1
=1
。
下面是一個古怪的式子:
數列中每個數便是前兩個數之和,而數列的最初兩個數都是1。
Fn
看似是無理數,但當 n ≧0 時,Fn
都是整數
利用斐波那契數列來做出一個新的數列:
方法是把數列中相鄰的數字相除,以組成新的數列如下:
當 n 無限大時,數列的極限是:
這個數值稱為黃金分割比
,它正好是方程式 x2
+x-1=0的一個根
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